ஜெயபாண்டியன் கோட்டாளம் எழுதியவை | ஜூலை 30, 2008

தசாவதாரமும் கேயாஸ் தியரியும்

 

 

தசாவதாரம் என்ற திரைப்படம் வெளியானதைத் தொடர்ந்து கேயாஸ் தியரி எனபது என்ன என்ற பேச்சு தமிழ் மக்களிடையே நிறைய பேசப்படுகிறது. கேயாஸ் தியரி என்பது தமிழில் ‘ஓழுங்கின்மைக் கோட்பாடு’ எனப்படும். அதன் அறிவியல் அடிப்படையை அனைவரும் எளிதில் புரிந்துகொள்ளும் வகையிலும் அதே சமயம் தகவல் பிழை ஏற்படாமலும் என்னால் முடிந்தவரை இங்கு விளக்க முயற்சிக்கிறேன். இதில் கொஞ்சம் கணிதம் இருக்கிறது. அது புரியாவிட்டால் விட்டுவிட்டு மற்றவற்றைப் படிக்கலாம்.

 

இயற்பியலில், ஓர் அமைப்பின் நிலை மாறாமல் இருந்தால் அந்த அமைப்பு சமநிலையில் இருப்பதாகக் கூறப்படும். மாறாக, நேரம் ஆக ஆக  அதன் நிலை மாறிக்கொண்டே வந்தால் அது ஒரு இயக்க அமைப்பு எனப்படும். ஒரு இயக்க அமைப்பின் தொடக்கநிலை தெரிந்தால் ஒரு குறிப்பிட்ட காலம் கடந்தபின் அது எந்த நிலையில் இருக்கும் என்பதை நியூட்டனின் இயக்க விதிகளால் திட்டவட்டமாகக் கணக்கிடலாம். உதாரணமாக, ஒரு தொடர்வண்டி ஒரு நிலையத்திலிருந்து ஒரு குறிப்பிட்ட நேரத்தில் கிளம்பி சீரான வேகத்துடன் செல்லுமானால், நூறு கிலோமீட்டர் தொலைவில் உள்ள அடுத்த நிலையத்தை எப்போது அடையும் எனக் கணக்கிட்டுச் சொல்லிவிடலாம் அல்லவா? அடுத்த எடுத்துக்காட்டாக, வானிலை அறிக்கையைப் பார்ப்போம். இன்றுள்ள காற்றின் வெப்பநிலை, அழுத்தம், ஈரப்பதம், காற்று வீசும் வேகம் போன்றவை இன்றைய வானிலையைக் குறிக்கின்றன. இந்நிலை படிப்படியாக எவ்வாறு மாறும் என்பதை சக்திவாய்ந்த கணினிகளில் கணக்கிட்டுத்தான் நாளை எந்த நிலையில் இருக்கும் என்று வானிலை அறிக்கையாளர்கள் வெளியிடுகிறார்கள். ஆனால் வானிலை அறிக்கை எப்போதும் சரியாகப் பலிப்பதில்லை என்பது அனைவரும் அறிந்ததே (வானிலை அறிக்கையாளர்களைத் தவிரJ).

 

ஒரு நிலையத்தின் முதலாம் நடைமேடையிலிருந்து கிளம்பும் வண்டி அடுத்த நிலையத்தை ஒரு குறிப்பிட்ட நேரத்தில் அடைகிறது என்று வைத்துக் கொள்வோம். ஆனால் அதே வண்டி அதே நேரத்தில் அதே நிலையத்தின் இரண்டாம் நடைமேடையிலிருந்து கிளம்பும்போது அடுத்த நிலையத்தை அடையாமல் வேறு எங்கோ சென்றுவிட்டால் எப்படி இருக்கும்? நல்ல வேளை, தொடர்வண்டிகள் இவ்வாறு செயல்படுவதில்லை. ஆனால் இந்த நடத்தை உள்ள அமைப்புகள் இயற்கையில் இருக்கத்தான் செய்கின்றன. இதையே ஒழுங்கற்ற நடத்தை (chaotic behavior) என்கிறோம். இந்த விளைவு முதன் முதலில் வானிலை முன்னறிக்கைத் துறையில் லொரென்ஸ் (Lorenz) என்ற அறிவியலாளரால் கண்டுபிடிக்கப்பட்டது. அவர் ஆய்வைப் பற்றி சற்றே விரிவாகக் காணலாம்.

 

ஓர்  இடத்தின் வானிலை t என்ற நேரத்தில் x, y, z ஆகிய மூன்று மாறிகளால் விவரிக்கப்படுகிறது என வைப்போம். (x என்பது காற்றின் வேகத்தையும், y என்பது கிடைமட்ட வெப்பநிலைச் சரிவையும், z என்பது அந்தச் சரிவு மாறுபாடும் விதத்தையும் குறிக்கின்றன. ஆனால் கோட்பாட்டை விளங்கிக் கொள்வதற்கு அந்த விவரங்கள் அவசியமில்லை.) நேரம் செல்லும்போது வானிலை மாறும் விதத்தைக் கீழ்க்கண்ட லொரென்ஸ் சமன்பாடுகளால் விவரிக்கலாம்.

 

  

 

dx/dt = σ (y – x)

dy/dt = x (t – z) – y

dz/dt = x y – β z

 

 

 

 

 

 

 

 

இவை இணைந்த வகையீட்டுச் சமன்பாடுகள் (coupled differential equations). இவ்வகையான சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்குத் தேவையான தொடக்க நிபந்தனையை t0 என்ற நேரத்தில் x0, y0, z0 என வைப்போம். அப்படியானால் ஒவ்வொரு t > t0 என்ற சமயத்திலும் இருக்கவேண்டிய xt, yt, zt நிலையைப் பெறுவதற்கு மேற்கண்ட சமன்பாடுகளை எண்தொகையீடு (numerical integraion) செய்வதன் மூலம் தீர்க்கலாம். அவ்வாறு கிடைக்கும் நிலைகளை முப்பரிமாண வரைபடமாகப் பெறலாம். அதாவது, ஒரு குறிப்பிட்ட நேரத்தின் நிலையை முப்பரிமாண வெளியில் ஒரு புள்ளியால் குறிக்கலாம். அப் புள்ளி காலத்துடன் நகரும் விதத்தை ஒரு வரைகோடாக வரையலாம். அவற்றில் ஏதாவது இரண்டு மாறிகளை கணினித்திரை போன்ற ஒரு சமதளத்திலேயே வரையலாம். இவ்வாறு பெறப்படும் வரைகோடுகள் அவ்வமைப்பின் இயங்குபாதைகள் (trajectories) எனப்படுவன.

 

 

மேற்கண்ட லொரன்ஸ் அமைப்பின் இயங்குபாதையை x,z தளத்தில் பார்த்தால் எவ்வாறு தோற்றமளிக்கும்? இதைத் தெரிவிக்க, டோக்கியோ பல்கலைக் கழக இணைப் பேராசிரியர் சுஸுக்கி[1] அவர்கள் இணையத்தில் ஒரு அருமையான படவிளக்கத்தை அளிக்கிறார். இந்த இயங்குபாதை, s, t, b ஆகிய மாறிலிகளுக்கு முறையே 10, 28, 8 என்ற மதிப்புகள் கொடுத்தும், தொடக்கநிலையை (x0, y0, z0) = (0, 20, 20) எனக் கொண்டும் உருவாக்கப்பட்டது. அந்தப் படவிளக்கத்தை இங்கு பாருங்கள்.

 

பார்த்துவிட்டீர்களா? பார்த்தபின்பே மேலே தொடர்ந்து வாசியுங்கள்.

 

இந்த இயங்குபாதை இரண்டு புள்ளிகளைச் சுற்றிச்சுற்றியே சுழல்வதுபோல் தோன்றுகிறது. ஆனால் அந்தப் புள்ளிகளில் எதையும் தொடுவதில்லை. சுழற்சியின் வீச்சு மாறிக்கொண்டே இருக்கிறது. அதாவது, எப்போது சிறு சுழலாகவும், எப்போது பெருஞ்சுழலாகவும் சுழலப் போகிறது என்று சொல்வதற்கில்லை. ஒருபக்கத்திலிருந்து மறுபக்கம் எப்போது மாறப்போகிறது என்பதும் தெரியவில்லை. மேலும், மிக முக்கியமாக, எவ்வளவு நேரமானாலும் ஒரு முறை கடந்த பாதையை மீண்டும் தொடுவதேயில்லை. (இங்கு, முப்பரிமாண வரைகோட்டின் நிழலை இருபரிமாணத்தில் வீழ்த்திப் பார்க்கிறோம் என்பதை நினைவில் கொள்க.) ஆதலால் இது உண்மையில் ஒரு சுழற்சியே இல்லை. சுழற்சி என்றால் ஒரே பாதையில் மீண்டும் மீண்டும் சுழல வேண்டுமல்லவா? சில சமயம் முன்பு சென்ற பாதைக்கு மிகவும் நெருக்கமாக வந்தாலும் கூடிய விரைவிலேயே அதனின்றும் மிகவும் விலகிச் சென்றுவிடுகிறது. ஆக மொத்தத்தில், இந்த இயக்கத்தில் வரையறுக்கக்கூடிய ஒழுங்குமுறை ஏதும் இருப்பதாகத் தெரியவில்லை.

 

நமது அளவைமானி ஒவ்வொன்றுக்கும் ஒரு துல்லிய எல்லை உண்டு. உதாரணமாக, வெப்பநிலையை அளந்து 25 டிகிரி செல்சியஸ் என்று சொல்லும்போது அது 24.9 டிகிரியாகவோ அல்லது 25.1 டிகிரியாகவோ இருக்கலாம் என்பதை ஏற்றுக் கொள்கிறோம். சோதனைச் சாலைகளில் 0.1 டிகிரி துல்லியத்துடன் அளக்கும் கருவிகள் இருக்கலாம். ஆயினும் அவற்றுக்கும் ஏதாவது ஒரு எல்லை இருக்கும் அல்லவா? எல்லையில்லாத் துல்லியத்துடன் அளப்பது இயலாத காரியம். இப்போது, மேற்கண்ட லொரன்ஸ் அமைப்பின் தொடக்கநிலையில் ஓரு சிறு பிழை இருப்பதாகக் கொள்வோம். தொடக்கநிலையில் y0 = 20 என்பதற்குப் பதிலாக 20.02 என எடுத்துக் கொண்டு லொரென்ஸ் அமைப்பின் இயக்கப் பாதையைக் கணக்கிட்டோமானால் அது விரைவிலேயே முன்பு கணக்கிட்ட பாதையிலிருந்து விலகி வேறுவிதமாகச் செல்லத் தொடங்கிவிடும்.

 

இது ஏன் பட்டாம்பூச்சி விளைவு எனக் கூறப்படுகிறது? ஆரம்பத்தில் y என்ற அளவை ஆயிரத்தில் ஒரு பங்கு மாறுபட்டாலும் அந்த மாறுதலும் நாளடைவில் மிகப் பெரியதாக வளர வாய்ப்புண்டு என்பது ஒழுங்கின்மைக் கோட்பாட்டின் ஒரு முக்கிய முடிவு. அதாவது, ஒரு பட்டாம்பூச்சியின் சிறகடிப்பால் ஏற்பட்ட சலனம் ஒரு புயல் அளவுக்கு வளர வாய்ப்புள்ளது. இந்தக் கருத்தினாலும்,  இயக்கப்பாதையை x,z தளத்தில் பார்க்கும்போது ஒரு பட்டம்பூச்சிபோல் தோற்றமளிப்பதாலும், இதைப் பட்டாம் பூச்சி விளைவு என்ற செல்லப் பெயரால் சிலர் அழைப்பதுண்டு.

 

முன்னறிவிக்க இயலாமை (unpredictability): தொடக்க நிலையில் உள்ள சிறு பிழையும் பிற்கால நிலைகளில் பெரும் மாற்றங்களை ஏற்படுத்துவதால், அவற்றைக் கணிக்க முடியாமல் போய்விடுகிறது. இதுதான் வானிலை அறிக்கை சிலசமயங்களில் பலிக்காததற்குக் காரணம். பல சிறு பிழைகளின் விளைவுகளும் ஒன்றாகச் சேர்ந்து குழம்புவதால் எந்த விளைவிக்கு என்ன காரணம் என்பது விளங்காமல் போய்விடுகிறது. காரணகாரியத் (cause and effect) தொடர்பு இல்லாதது போல் தோன்றுகிறது. காரணகாரியம் இல்லை என்று முடிவு செய்வது தவறு. இருக்கத்தான் செய்கிறது; அது லொரென்ஸ் சமன்பாடுகளில் அடங்கியுள்ளது. ஆனால் அதை (அதாவது லொரென்ஸ் சமன்பாடுகளின் தீர்வுகளை) நமக்குச் சரியாகக் கணக்கிட முடியவில்லை.

 

இங்கு ஒழுங்கற்ற தன்மை விதிவிலக்கே அன்றி விதியல்ல என்பது குறிப்பிடத் தக்கது. இயற்பியல் அமைவுகளை விளக்கும் சமன்பாடுகள் அனைத்தையும் துல்லியமாகக் கணக்கிட முடியும். ஒருசில அமைப்புகளே விதிவிலக்குகளாக இருக்கின்றன. தொடர்வண்டிகளின் வரவுநேரங்களைக் கணக்கிடுவது போலவே, சூரியக் குடும்பத்தின் கோள்களும் துணைக்கோள்களும் இயங்கும் விதத்தை மிகத் துல்லியமாகக் கணக்கிட முடிகிறது. புவியின் தரையிலிருந்து ஏவப்பட்ட கலங்கள் பல ஆண்டுகள் கழித்து வேறொரு கோளத்தில் குறித்த நேரத்தில் குறித்த இடத்தில் இறங்குவதை நாம் அடிக்கடி செய்தியில் கேட்கிறோம்.

 

தசாவதாரம் திரைப்படத்தில் ஒழுங்கின்மைக் கோட்பாடு எவ்வாறு கையாளப்படுகிறது? பல நூற்றாண்டுகளுக்கு முன் நடந்த ஒரு சிறு நிகழ்ச்சி பிற்காலத்தில் ஒரு பெரும்புயலை ஏற்படுத்தி அதுவும் நன்மையாகவே முடிந்ததாகக் கதைப்போக்கு இருக்கிறது. இது சிறு நிகழ்ச்சியும் பெருவிளைவை ஏற்படுத்தலாம் என்ற அடிப்படையில் எழுந்தது. இதன் திருப்புக்கூற்றும் உண்மையே. அதாவது, பெரும் வேறுபாடும் காலத்தால் சிறுத்து மறைந்துவிட வாய்ப்புண்டு. அவ்வாறு இருக்கும்போது காரணகாரியத்தைக் கணக்கிட்டு அறிய முடியாதென்று முன்பு பார்த்தோம். பல நூற்றாண்டுகளுக்கு முன் நடந்த நிகழ்ச்சியின் விளைவு அதற்கிடையில் நடந்த மற்ற நிகழ்ச்சிகளின் விளைவுகளுடன் கலந்து கரைந்து போயிருக்கும். எனினும் கதையின் கருத்து ஒரு இலக்கிய நயத்துடன் பார்க்கும்போது ரசிக்கக் கூடியதாயிருக்கிறது.

 

இலக்கியத்தில் இயற்கையாக நடக்கும் நிகழ்ச்சிகளினூடே புலவன் தன் கற்பனையைக் கலந்து கூறுவது இலக்கியத்துக்குச் சுவையூட்டுகிறது. உதாரணமாக, கம்பராமாயணத்தில்

 

தண்டலை மயில்க ளாடத் தாமரை விளக்கந் தாங்கக்

கொண்டல்கண் முழவி னேங்கக் குவளை கண்விழித்து நோக்கத்

தெண்டிரை யெழினி காட்டத் தேம்பிழி மகர யாழின்

வண்டுக ளினிது பாட மருதம்வீற் றிருக்கு மாதோ

 

என்ற செய்யுள் இருக்கிறது. மருத நிலத்தின் சோலையில் மயில்கள், வண்டுகள் போன்ற உயிரினங்களும், தடாகத்தில் தாமரை, குவளை போன்ற மலர்களும், வானத்தில் மேகங்களும் உள்ளன என்று அறிவியல் நடையில் கூறினால் அது உப்பிடாத வெறுஞ்சோறு உண்பதுபோல் சப்பென்றிருக்கிறது. அதைக் கம்பர் எவ்வாறு சொல்கிறார்? மருதத்தைக் கொலு வீற்றிருக்கும் மாதாகவும், அம்மாதின் அவையில் தாமரை மலர்கள் விளக்குகளாகவும், தடாகத்தின் அலைகள் திரைச்சீலைகளாகவும் விளங்க, மேகங்கள் மத்தளம் முழங்க, வண்டுகள் யாழிசைக்க மயில்கள் நடனமாடியதாகவும், குவளை மலர்கள் பார்வையாளர்களாக இருந்து அக் காட்சியைக் கண்டதாகவும் தம் கற்பனையைக் கலந்து கூறுகிறார். இதே வகையில்தான் பல நூற்றாண்டுகள் இடைப்பட்ட இரு நிகழ்ச்சிகளிடையே இல்லாத தொடர்பை ஏற்படுத்துவதற்காக ஒழுங்கின்மைக் கோட்பாட்டின் ஒரே ஒரு சொற்றொடரை வம்புக்கிழுத்திருப்பது ஒரு இலக்கியச் சுவையான கற்பனை.

 

உங்களில் சிலர் பிரௌனியன் இயக்கம் (Brownian motion) என்பதை அறிந்திருக்கலாம். ஒரு பெரிய பொருளின் மீது நம் கண்களுக்குத் தெரியாதபடி அதன் சூழ்நிலையில் உள்ள ஏராளமான சிறு பொருள்கள் மோதுவதால் அந்தப் பெரிய பொருள் குறிப்பின்றி (at random) இயங்குவது போல் தோன்றும். தகவல் தொடர்பு இணைப்புகளில் சூழ்நிலையின் விளைவால் இரைச்சல் ஏற்படுவதும் ஒரு விதத்தில் பிரௌனியன் இயக்கத்தை ஒத்தது. ஆனால் லொரென்ஸ் அமைப்பில் காணப்படும் ஒழுங்கின்மை அதுவன்று. இங்கு நாம் காணும் ஒழுங்கற்ற தன்மை சுற்றுப்புறத்தின் தாக்குதலாலோ இரைச்சலாலோ ஏற்படுவதன்று. அது இந்த அமைப்பின் உள்ளடங்கிய பண்பே என்பது மேற்கண்ட சமன்பாடுகளில் x, y, z தவிர வேறு மாறிகளோ விசைகளோ இல்லாததால் விளங்கும்.

 

அறிவியலில் சீர்குலைவு (entropy) என்ற கருத்துருவும் முறைமையற்ற (disorder) ஒரு நிலையைக் குறிக்கிறது. ஆனால், ஒழுங்கின்மை என்ற கருத்துரு அதனின்றும் மாறுபட்டது. இரு சொற்களும் நடைமுறையில் ஒரே பொருளைத் தருவனவாயினும், உயர் அறிவியலிலும், கணிதத்திலும் வெவ்வேறு கொள்கைகளைக் குறிப்பதற்காகக் கையாளப்படுகின்றன.

 

ஒழுங்கின்மைக் கோட்பாடு பற்றி அறிவியலாளர்களுக்கும்[2]. மற்றவர்களுக்கும்[3] ஏற்றவாறு ஆங்கிலப் புத்தகங்கள் பல இருக்கின்றன இணையத்திலும் விரிவான தொடக்கவுரைகள் உள்ளன.[4] இத்துறையில் அறிவியலாளர்கள் இன்னும் ஆய்வுகள் நடத்திக்கொண்டுதான் இருக்கிறார்கள்[5]. தங்களன்பன் கைங்கரியமும் இதில் ஒரு சிறுதுளியாக அடங்கியிருக்கிறது.[6]

 


[2] S. H. Strogatz, Nonlinear Dynamics and Chaos: With Applications to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering; Perseus Books Publishing, 1994.

[3] J. Gleick, Chaos: making a new Science; Penguin Books, 1987.

[6] Kottalam, West, and Lindenberg; J. Stat. Phys., 46, 119 (1987)

Advertisements

Responses

  1. மிகவும் பயனுள்ளதாகவும் அனைவரும் புரிந்துகொள்ளும் வகையிலும் உள்ளது. பாராட்டுக்கள்! தமிழ் விக்கிப்பீடியாவிலும் இணைக்கலாம்.

    நன்றி!


மறுமொழியொன்றை இடுங்கள்

Please log in using one of these methods to post your comment:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  மாற்று )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  மாற்று )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  மாற்று )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  மாற்று )

Connecting to %s

பிரிவுகள்

%d bloggers like this: